根据变分问题，我们要求 $u \in V$，使得 $J(u)=\min _{v \in V} J(v)$。其中 $V=C^2(\Omega) \cap C^1(\bar{\Omega})$。

首先，我们需要导出与此变分问题等价的边值问题。通过变分法，我们可以得到欧拉-拉格朗日方程。对于最小化问题，满足极值条件的函数 $u$ 需要满足以下方程：

\[ \frac{\partial}{\partial u} \left[ \frac{\partial L}{\partial u_x} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial L}{\partial u_{x'}} \right) + \frac{\partial L}{\partial u_y} - \frac{d}{dy} \left( \frac{\partial L}{\partial u_{y'}} \right) + \frac{\partial L}{\partial u_z} - \frac{d}{dz} \left( \frac{\partial L}{\partial u_{z'}} \right) \right] = 0 \]

其中 $L = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\right] - \left(\frac{1}{2} \sigma u^2-g u\right)$。

这个方程就是所谓的欧拉-拉格朗日方程，它描述了在给定约束条件下函数 $u$ 的极值情况。

进一步，我们需要证明这两个问题是等价的。这可以通过适当的约束条件和数学推导来完成。特别地，我们需要向证明从原始的变分问题导出的函数 $u$ 满足所建立的边值问题。反之亦然，即方程的解也是原始变分问题的解。

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